確率とネイピア数

$\frac{1}{n}$ の確率で当たりがでる籤を $n$ 枚買った時、当たりが1枚以上含まれる確率 $P_n$ は？

という問題が夢に出てきた。
もちろん $P_n = 1-(\frac{n-1}n)^n$ なのだけれど、なんだか右辺第2項がネイピア数の定義 $e = \lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}n)^n$ に似ていることが気になった。

というわけで $P_n$ の極限 $P = \lim_{n\to\infty}\{1-(\frac{n-1}n)^n\}$ を $e$ で表せないかと考えたわけだが、なかなかうまく式変形できない。
ちょっと計算してみれば $(\frac{n-1}n)^n$ が $\frac 1 e$ に近づいていくことは解るのだけれど、証明ができない。

で、散々悩んだ挙句、休日つぶして導きだした答えは下記の通り。
$(\frac{n-1}n)^n = (\frac{n}{n-1})^{-n} = (1 + \frac{1}{n-1})^{-n} = \{ {(1 + \frac{1}{n-1})^{n-1} ({1 + \frac{1}{n-1})}}\}^{-1} \longrightarrow_{n\to\infty} e^{-1} = \frac{1}e$
よって、 $P = 1 - \frac 1 e$
google電卓によれば、およそ63%とのこと。